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By Prof. Dr. Martin Aigner (auth.)

Das Buch ist das erste umfassende Lehrbuch ?ber Diskrete Mathematik in deutscher Sprache. Es besteht aus drei Teilen: Abz?hlung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Systeme, die weitgehend unabh?ngig voneinander gelesen werden k?nnen. Jeder Teil schlie?t mit einer Literaturliste f?r ein weiterf?hrendes Studium. Gro?er Wert wird auf die ?bungen gelegt, die etwa ein Viertel des Textes ausmachen. Die ?bungen sind nach Schwierigkeitsgrad gegliedert, im Anhang findet guy L?sungen f?r ausgew?hlte ?bungen. Vorausgesetzt werden nur Vertrautheit mit mathematischen Grundbegriffen sowie Grundkenntnisse in research und Linearer Algebra, wie sie ?berlicherweise im 1. Semester erworben werden. Das Buch will alle Grundlagen f?r den Leser bereitstellen. Da Diskrete Mathematik heute eine Grundlagenwissenschaft auch der Informatik ist, ist der Stoff so gew?hlt, dass Mathematiker und Informatiker gleicherma?en davon profitieren k?nnen. Dabei wird der algorithmische Standpunkt besonders betont.

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Example text

Sei n ~ 3. Wir klassifizieren die fixpunktfreien Permutationen 1C' nach dem Bild 1C'(1) von 1. Offensichtlich kann 1C'(1) eine der Zahlen 2,3, ... , n sein. Sei 1C'(1) = i. Nun unterscheiden wir zwei Fälle: 1C'(i) = 1 oder 1C'{i) :I 1. Im ersten Fall haben wir 1C' = 1rt:~»), das heißt die Zahlen k :I 1, i können auf alle Arten fixpunktfrei abgebildet werden, und wir erhalten demnach D n - 2 Permutationen. 1r(n»)' Ersetzen wir nun in der ersten Zeile i durch Fall haben wir 1C' = 1 und entfernen die erste Stelle, so erhalten wir eine fixpunktfreie Permutation auf {1, ...

Wir wollen uns überlegen, wie wir alle n! Permutationen von {1, ... , n} effektiv auflisten können. Die gebräuchlichste Methode ist die lexikographische Anordnung. Wir sagen, 7r = (7rl, ... ,7rn) ist lexikographisch kleiner als (J" = ((J"l, ... , (J"n), wenn für das kleinste i mit 7ri f= (J"i gilt 7ri < (J"i. Zum Beispiel erhalten wir für n = 3 die Liste 123, 132, 213, 231, 312, 321. Zeige, daß der folgende Algorithmus zu 7r = (7rl, ... , 7rn ) die Nachfolgerpermutation (J" findet: (1) Suche den größten Index r mit 7rr < 7r rH' Wenn kein solches r existiert, ist 7r = (n - 1, ...

Zunächst überlegen wir uns, wie oft wir die 2k Zahlen i 1 , i 1 , ... , ik, ik nebeneinander plazieren können. Betrachten wir die k Anfangsstellen der k Paare. Dies sind k Stellen zwischen 1 und 2n - 1, die sich jeweils um mindestens 2 unterscheiden (da die Stelle danach ja von dem zweiten Element besetzt ist). Die Anzahl dieser k Wahlen aus {I, 2, ... 13 zu enk- k) berechnet. Nun können wir die k Paare auf k! Arten permutieren, und die restlichen n - k Paare auf (2;:2:)! Arten in die offenen Stellen einfügen (der Nenner ergibt sich wegen der Doppelzählung bei den n - k Paaren).

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