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By Horst Lippmann

Die Tensorrechnung ist ein formaler, programmierbarer Kalk?l von speziellem Nutzen in der angewandten Mathematik, in der theoretischen Physik und in den theoretisch oder numerisch orientierten Ingenieurwissenschaften. Hier lernt guy fr?hzeitig, beispielsweise mit mechanischen Spannungen und Verformungen in festen, fl?ssigen oder gasf?rmigen K?rpern sowie mit Tr?gheitsmomenten, Fl?chenkr?mmungen und anderen Gr??en umzugehen, welche sogar dann Tensoren sind, wenn guy es verschweigt. Die Kristallkunde beruht in ganz besonderem Ma?e auf der Tensorrechnung, und viele numerische Methoden der Kontinuumsphysik werden erst bei tensorieller Darstellung durchsichtig. Dieses Lehrbuch ist als Einf?hrung zu verstehen, und zwar f?r Ingenieure, Physiker oder angewandte Mathematiker. Es beruht auf einer Vorlesung f?r Studenten h?herer Semester und setzt Vorkenntnisse entsprechend den ?blichen Lehrveranstaltungen in Mathematik und Mechanik voraus. Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Den einzelnen Kapiteln sind ?bungsaufgaben angef?gt, die teilweise aufeinander aufbauen. Ihre L?sungen werden gesondert zusammengefa?t.

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4 Metrische Grundgrößen Die metrischen Grundgrößen gJk• gik, gj k, g~J entsprechen den Transformationskoeffizienten af. für den Fall, daß die beiden kontragredienten Basen eines Basenpaares ineinander transformiert werden. 4/1) 32 2 Skalare und Vektoren im Euklidischen Raum Um die Vergleichbarkeit der ko- bzw. kontravarianten "vertikalen Isomeren" gki• gki der metrischen Grundgrößen mit den "gemischt-varianten Isomeren" g~i' g;} zu gewährleisten, bleibt bei diesen das Übereinandersetzen der Indizes verboten.

4).

GN senkrecht stehen: (gk, gd = (gt. 2/5) folgt hingegen mit k = n (gN, ln) = (gN, gN) + a~(gN, IH) = lgN 12 > 0. 2/2). Durch Umordnung von g 1 , . •• , g 1 als in der Reihenfolge letzter Vektor erscheint, konstruiert man mittels der obigen Methode ln _ ~> ... , g 1 hinzu. Die Vektoren g 1 , . . 2/1). Daher haben wir in Gestalt der gJ in der Tat eine kontravariante Basis gefunden, die zu der Ausgangsbasis lt kontragredient ist. 2/2) eindeutig sein. 1/14) = <5~ 0 (r, gi) = 0. Hieraus ergibt sich, wie unten nachgetragen wird, r = 0, also tatsächlich die Eindeutigkeit gk = gk.

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