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Zykel der Lange 1 hei en trivial . Die anderen hei en nicht trivial. 3. Satz Die Sn+1 ist disjunkte Vereinigung der Nebenklassen (i n + 1)Sn, 1 i n + 1. Beweis: Sei f 2 Sn+1. Dann ist (f (n + 1) n + 1) f 2 Sn und f = (f (n + 1) n + 1)2 f . Also ist Sn+1 Vereinigung der Nebenklassen (i n + 1)Sn , 1 i n + 1. Diese Vereinigung ist disjunkt, weil die Transposition das Bild von n + 1 bestimmt. Version 6. 4. Korollar Es gilt jSn+1j = (n + 1)jSnj, jSnj = n!. 5. Korollar Jede Permutation ist Produkt von Transpositionen.

Jeder dieser letzten drei Summanden ist durch p teilbar ) p j N ( ) ) N ( ) = p. 3. Korollar Genau dann ist eine ungerade Primzahl eine Summe von zwei Quadraten, wenn sie kongruent 1 mod 4 ist. Ist IP 3 p 3 mod 4, so ist p irreduzibel in ZZ i]. : p = ab in ZZ i]: ) N (p) = p2 = N (a)N (b). Da a b 2= f 1g ) N (a) = N (b) = p 2 IP ) p 2 oder p 1 mod 4, Widerspruch zu p 3 mod 4. 4. De nition p 2 R hei t Primelement, wenn fur a b 2 R aus p j ab stets p j a oder p j b folgt. 5. Beispiel p p R = ZZ ;3].

De nition 1. Ist S eine Teilmenge von R, dann hei t der Durchschnitt I aller Ideale, die S enthalten, das von S erzeugte Ideal, kurz (S )R bzw. (S ) (oder hS iR bzw. hS i). Die Menge S hei t R-Erzeugendensystem von I . 2. Wird ein Ideal von R von einer endlichen Teilmenge von R erzeugt, so hei t es endlich erzeugt. 3. Wird ein Ideal I von R von einer einelementigen Menge frg erzeugt, so wird I Hauptideal genannt und r hei t Erzeuger von I . Man schreibt dann I = (r) (oder I = hri). 4. Sind alle Ideale eines Rings R Hauptideale, so hei t R Hauptidealring.

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